kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【强化篇】第9题（选择题） 9．设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x, b_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} t \mathrm{~d} t$ ，则极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{(n+1) a_{n}}{b_{n}}\right]^{n}=$ ． （A） 0 （B）$e$ （C） $\mathrm{e}^{-1}$ （D）$+\infty$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$a_n=\int_0^1 x^n\sqrt{1-x^2}dx$，令$x=\sin t$，得$\displaystyle a_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n t\cos^2 t dt=b_n-b_{n+2}$。 步骤2：$\displaystyle b_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n t dt$，有递推$\displaystyle b_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}b_n$，故$\displaystyle a_n=b_n-\frac{n+1}{n+2}b_n=\frac{b_n}{n+2}$。 步骤3：$\displaystyle \frac{(n+1)a_n}{b_n}=\frac{n+1}{n+2}$，极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^n=e^{-1}$。 **难度**：★★★☆☆