kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【基础篇】第9题（解答题） 9．若对于数列 $\left\{x_{n}\right\}, x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), n=1,2, \cdots, f(x)$ 可导，$a$ 是 $f(x)=x$ 的唯一解，且对任意的 $x \in \mathbf{R}$ ，有 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant k<1$ ．证明 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛于 $a$ ．
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：由拉格朗日中值定理，存在$\xi_n$介于$x_n$与$a$之间，使得$x_{n+1}-a=f(x_n)-f(a)=f'(\xi_n)(x_n-a)$，故$|x_{n+1}-a|\leq k|x_n-a|$。 步骤2：递推得$|x_n-a|\leq k^{n-1}|x_1-a|$，由$0
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立递推不等式
由拉格朗日中值定理，存在ξ_n介于x_n与a之间，使得x_{n+1}-a = f(x_n)-f(a) = f'(ξ_n)(x_n-a)，故|x_{n+1}-a| ≤ k|x_n-a|。
公式：x_{n+1}-a = f'(ξ_n)(x_n-a)
提示：注意f(a)=a，且|f'(x)|≤k<1。
步骤 2/3
目标：递推得到误差上界
由|x_{n+1}-a| ≤ k|x_n-a|递推得|x_n-a| ≤ k^{n-1}|x_1-a|。
公式：|x_n-a| ≤ k^{n-1}|x_1-a|
提示：反复应用不等式，注意指数。
步骤 3/3
目标：取极限证明收敛
由于0
公式：lim_{n→∞} k^{n-1}=0
提示：夹逼定理或直接由定义。
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