kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 【强化篇】第8题（解答题） 8．已知数列 $\left\langle x_{a}\right\rangle$ 满足 $\displaystyle 0
💡 答案解析
**答案**： (1) $\lim_{n\to\infty}x_n=0$ (2) $\displaystyle \frac{1}{3}$ **解析**： (1) 步骤1：由$x_{n+1}+\tan x_n=2x_n$得$x_{n+1}=2x_n-\tan x_n$。设$g(x)=2x-\tan x$，$\displaystyle 0
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明数列极限存在并求值
由递推式 x_{n+1} + tan x_n = 2x_n 得 x_{n+1} = 2x_n - tan x_n。设 g(x)=2x - tan x，当 0
公式：x_{n+1} = 2x_n - \tan x_n, \quad \tan A = A
提示：利用单调有界准则，注意 tan x 在 (0,π/4) 的性质。
步骤 2/2
目标：求极限 lim (1/x_n^2 - 1/(x_n x_{n+1}))
由 x_{n+1} = 2x_n - tan x_n，将 tan x_n 展开：tan x_n = x_n + x_n^3/3 + o(x_n^3)，代入得 x_{n+1} = x_n - x_n^3/3 + o(x_n^3)。于是 1/x_{n+1}^2 - 1/x_n^2 = 2/3 + o(1)。求和得 1/(n x_n^2) → 2/3，即 x_n ~ √(3/(2n))。所求极限为 lim (x_{n+1} - x_n)/(x_n^2 x_{n+1}) = 1/3。
公式：\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3), \quad \frac{1}{x_{n+1}^2} - \frac{1}{x_n^2} = \frac{2}{3} + o(1)
提示：利用泰勒展开和 Stolz 定理或求和技巧。
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