kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设连续函数 $f(x)$ 满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\ln (x-1)}{f(3-x)}=2$ ，且 $f(1)=0$ ，则 $f^{\prime}(1)$ 的值为 () 。 （A） 2 （B）-2 （C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ （D）$\displaystyle -\frac{1}{2}$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：由$\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{\ln(x-1)}{f(3-x)}=2$，令$t=3-x$，则$x\to2$时$t\to1$，得$\displaystyle \lim_{t\to1}\frac{\ln(2-t)}{f(t)}=2$。 步骤2：由$f(1)=0$，利用洛必达法则，$\displaystyle \lim_{t\to1}\frac{\ln(2-t)}{f(t)}=\lim_{t\to1}\frac{-\frac{1}{2-t}}{f'(t)}=\frac{-1}{f'(1)}=2$，解得$\displaystyle f'(1)=-\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：变量代换，将极限转化为关于t的形式
令 t = 3 - x，则当 x → 2 时，t → 1。原极限变为 lim_{t→1} ln(2-t)/f(t) = 2。
公式：t = 3 - x
提示：注意变量代换后极限点变化
步骤 2/3
目标：应用洛必达法则求极限
由于 f(1)=0，且 ln(2-t) → 0 (t→1)，满足0/0型，使用洛必达法则：lim_{t→1} ln(2-t)/f(t) = lim_{t→1} [-1/(2-t)] / f'(t) = -1/f'(1) = 2。
公式：洛必达法则：lim_{t→1} ln(2-t)/f(t) = lim_{t→1} [ln(2-t)]' / f'(t)
提示：注意求导时链式法则
步骤 3/3
目标：解出 f'(1)
由 -1/f'(1) = 2，解得 f'(1) = -1/2。
公式：-1/f'(1) = 2 ⇒ f'(1) = -1/2
提示：注意符号
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