kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} \sin \frac{t}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 其中 $t$ 为非零常数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处（ ）。 （A）不连续 （B）连续但不可导 （C）可导但 $f^{\prime}(x)$ 不连续 （D）可导且 $f^{\prime}(x)$ 连续
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$f(0)=0$，$\displaystyle \lim_{x\to0}x^2\sin\frac{t}{x}=0$，故$f(x)$在$x=0$处连续。 步骤2：$\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac{t}{x}-0}{x}=\lim_{x\to0}x\sin\frac{t}{x}=0$，故可导。 步骤3：$x\neq0$时，$\displaystyle f'(x)=2x\sin\frac{t}{x}-t\cos\frac{t}{x}$，$\lim_{x\to0}f'(x)$不存在，故$f'(x)$在$x=0$处不连续。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断连续性
计算f(0)=0，并求极限lim_{x→0} x^2 sin(t/x)=0，由于极限等于函数值，故f(x)在x=0处连续。
公式：lim_{x→0} x^2 sin(t/x)=0
提示：利用有界量乘以无穷小仍为无穷小。
步骤 2/3
目标：判断可导性
利用导数定义：f'(0)=lim_{x→0} (x^2 sin(t/x)-0)/x = lim_{x→0} x sin(t/x)=0，故f(x)在x=0处可导。
公式：f'(0)=lim_{x→0} x sin(t/x)=0
提示：同样利用有界量乘以无穷小。
步骤 3/3
目标：判断导函数的连续性
当x≠0时，求导得f'(x)=2x sin(t/x) - t cos(t/x)。求极限lim_{x→0} f'(x)，由于-t cos(t/x)振荡，极限不存在，故f'(x)在x=0处不连续。
公式：f'(x)=2x sin(t/x) - t cos(t/x)
提示：注意cos(t/x)在x→0时振荡，极限不存在。
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