kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【基础篇】第4题（填空题） 4．设 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处可导，$f(0)=f^{\prime}(0)=\sqrt{2}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{2}(x)-2}{x}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$2\sqrt{2}$ **解析**：步骤1：由$f(0)=f'(0)=\sqrt{2}$，则$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f^2(x)-2}{x}=\lim_{x\to0}\frac{(f(x)-\sqrt{2})(f(x)+\sqrt{2})}{x}$。 步骤2：$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)-\sqrt{2}}{x}=f'(0)=\sqrt{2}$，且$\lim_{x\to0}(f(x)+\sqrt{2})=2\sqrt{2}$，故原式$=\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将分子因式分解
由 $f(0)=\sqrt{2}$，将 $f^2(x)-2$ 分解为 $(f(x)-\sqrt{2})(f(x)+\sqrt{2})$，则原极限化为 $\lim_{x\to0}\frac{(f(x)-\sqrt{2})(f(x)+\sqrt{2})}{x}$。
公式：$f^2(x)-2 = (f(x)-\sqrt{2})(f(x)+\sqrt{2})$
提示：注意 $2=(\sqrt{2})^2$，利用平方差公式。
步骤 2/3
目标：利用导数定义求极限
由于 $f'(0)=\sqrt{2}$，根据导数定义，$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-\sqrt{2}}{x}=f'(0)=\sqrt{2}$。同时，$\lim_{x\to0}(f(x)+\sqrt{2})=f(0)+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
公式：$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(0)$
提示：注意 $f(0)=\sqrt{2}$，所以 $f(x)-\sqrt{2}=f(x)-f(0)$。
步骤 3/3
目标：计算极限乘积
原极限 $= \lim_{x\to0}\frac{f(x)-\sqrt{2}}{x} \cdot \lim_{x\to0}(f(x)+\sqrt{2}) = \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$。
公式：$\lim (A \cdot B) = \lim A \cdot \lim B$
提示：两个极限均存在，故可拆开。
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