kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【强化篇】第4题（选择题） 4．设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义，且在点 $x=0$ 处连续，则以下结论： （1）当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt[3]{x}}=0$ 时，$f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导； （2）当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=0$ 时，$f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导； （3）当 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt[3]{x}}=0$ ． 所有正确结论的序号为（ ）。 （A）（1） （B）（2） （C）（2）（3） （D）（1）（2）
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：对于(1)，$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{\sqrt[3]{x}}=0$，则$f(0)=0$，但$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{\sqrt[3]{x}}\cdot x^{-2/3}$，极限不存在，故不可导，错误。 步骤2：对于(2)，$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=0$，则$f(0)=0$，且$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}\cdot x=0$，故$f'(0)=0$，正确。 步骤3：对于(3)，若$f(x)$在$x=0$处可导，则$f(x)=f(0)+f'(0)x+o(x)$，$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{\sqrt[3]{x}}=\lim_{x\to0}\frac{f(0)+f'(0)x+o(x)}{\sqrt[3]{x}}$，当$f(0)=0$时极限为0，但$f(0)$不一定为0，故不一定成立，但题目中(3)需在可导条件下，由连续性得$f(0)=0$，故正确。因此(2)(3)正确。 **难度**：★★★☆☆