kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【基础篇】第5题（填空题） 5．设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{n^{2}}, \frac{1}{(n+1)^{2}}
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**：步骤1：$\displaystyle f_+'(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}$。 步骤2：当$\displaystyle \frac{1}{(n+1)^2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出右导数的定义
根据导数的定义，右导数 $f_+'(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x}$，因为 $f(0)=0$。
公式：$f_+'(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}$
提示：注意 $f(0)=0$，所以分子就是 $f(x)$。
步骤 2/5
目标：分析 $f(x)$ 的分段表达式
当 $x \in (0,1]$ 时，存在唯一的正整数 $n$ 使得 $\frac{1}{(n+1)^2} < x \leq \frac{1}{n^2}$，此时 $f(x)=\frac{1}{n^2}$。
公式：对于 $\frac{1}{(n+1)^2} < x \leq \frac{1}{n^2}$，$f(x)=\frac{1}{n^2}$
提示：注意 $x$ 越小，$n$ 越大。
步骤 3/5
目标：估计 $\frac{f(x)}{x}$ 的范围
由 $\frac{1}{(n+1)^2} < x \leq \frac{1}{n^2}$ 得 $\frac{1}{n^2} \cdot \frac{1}{x} \geq 1$ 且 $\frac{1}{n^2} \cdot \frac{1}{x} < \frac{(n+1)^2}{n^2}$，即 $1 \leq \frac{f(x)}{x} < \frac{(n+1)^2}{n^2}$。
公式：$1 \leq \frac{f(x)}{x} < \frac{(n+1)^2}{n^2}$
提示：利用 $x$ 的范围放缩。
步骤 4/5
目标：取极限并应用夹逼准则
当 $x \to 0^+$ 时，$n \to \infty$，则 $\frac{(n+1)^2}{n^2} \to 1$。由夹逼准则，$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = 1$。
公式：$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2}{n^2}=1$
提示：夹逼准则：若 $g(x) \leq h(x) \leq f(x)$ 且 $\lim g(x)=\lim f(x)=A$，则 $\lim h(x)=A$。
步骤 5/5
目标：得出结果
因此 $f_+'(0)=1$。
提示：注意结果不是0，而是1。
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