kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【强化篇】第5题（选择题） 5．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 记 $F(x)=g[f(x)], g(x)$ 可导，则 $F(x)$ 在 $x=0$ 处（ ）。 （A）不连续 （B）可导且 $F^{\prime}(0)=0$ （C）连续但不可导 （D）可导且 $F^{\prime}(0) \neq 0$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$f(x)$在$x=0$处连续且可导，$f(0)=0$，$f'(0)=0$。 步骤2：$F(x)=g[f(x)]$，则$\displaystyle F'(0)=\lim_{x\to0}\frac{g[f(x)]-g[f(0)]}{x}=\lim_{x\to0}\frac{g[f(x)]-g(0)}{x}$，由$g$可导，$g[f(x)]-g(0)=g'(0)f(x)+o(f(x))$，故$\displaystyle F'(0)=g'(0)\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=g'(0)\cdot0=0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：分析f(x)在x=0处的性质
由于f(x)=x^2 sin(1/x) (x≠0)且f(0)=0，利用夹逼准则可得lim_{x→0} f(x)=0，故f(x)在x=0处连续。又f'(0)=lim_{x→0} (f(x)-f(0))/x = lim_{x→0} x sin(1/x)=0，所以f(x)在x=0处可导且f'(0)=0。
公式：f'(0)=lim_{x→0} x sin(1/x)=0
提示：注意x sin(1/x)的极限为0，因为|sin(1/x)|≤1。
步骤 2/2
目标：利用复合函数求导法则求F'(0)
F(x)=g[f(x)]，则F'(0)=lim_{x→0} (g[f(x)]-g[f(0)])/x = lim_{x→0} (g[f(x)]-g(0))/x。由于g可导，有g[f(x)]-g(0)=g'(0)f(x)+o(f(x))，代入得F'(0)=lim_{x→0} [g'(0)f(x)+o(f(x))]/x = g'(0) lim_{x→0} f(x)/x + lim_{x→0} o(f(x))/x。由第一步知lim_{x→0} f(x)/x = f'(0)=0，且o(f(x))/x = o(f(x))/f(x) * f(x)/x → 0，故F'(0)=0。
公式：F'(0)=g'(0) lim_{x→0} f(x)/x = g'(0)*0=0
提示：注意o(f(x))是比f(x)高阶的无穷小，且f(x)→0。
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