kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【基础篇】第6题（填空题） 6．设可导函数 $f(x)>0$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \ln \frac{f\left(\frac{1}{n}\right)}{f(0)}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{f'(0)}{f(0)}$ **解析**：步骤1：$\displaystyle \lim_{n\to\infty}n\ln\frac{f(1/n)}{f(0)}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln f(1/n)-\ln f(0)}{1/n}$。 步骤2：令$x=1/n$，则原式$\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{\ln f(x)-\ln f(0)}{x}=(\ln f(x))'|_{x=0}=\frac{f'(0)}{f(0)}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将极限转化为导数定义的形式
将原极限改写为：\(\lim_{n\to\infty} n \ln\frac{f(1/n)}{f(0)} = \lim_{n\to\infty} \frac{\ln f(1/n) - \ln f(0)}{1/n}\)
公式：\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b
提示：注意对数性质的应用，将除法转化为减法。
步骤 2/3
目标：变量替换，化为导数定义
令 \(x = 1/n\)，则当 \(n \to \infty\) 时，\(x \to 0\)，原式变为 \(\lim_{x\to 0} \frac{\ln f(x) - \ln f(0)}{x}\)
公式：\lim_{x\to 0} \frac{g(x)-g(0)}{x} = g'(0)
提示：变量替换后，极限形式符合导数定义。
步骤 3/3
目标：计算导数
由导数定义，该极限等于函数 \(\ln f(x)\) 在 \(x=0\) 处的导数，即 \((\ln f(x))'|_{x=0} = \frac{f'(0)}{f(0)}\)
公式：(\ln f(x))' = \frac{f'(x)}{f(x)}
提示：注意复合函数求导法则。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。