kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【强化篇】第6题（选择题） 6．设函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内有定义，$f(0)=f^{\prime}(0)=a>0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(\sin x)-a}{\ln [f(x)]-\ln a}=(\quad)$ 。 （A）$\displaystyle \frac{1}{a}$ （B）$a$ （C） $\cos a$ （D）$a \cos a$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(\sin x)-a}{\ln[f(x)]-\ln a}=\lim_{x\to0}\frac{f(\sin x)-f(0)}{\ln f(x)-\ln f(0)}$。 步骤2：由导数定义，$f(\sin x)-f(0)\sim f'(0)\sin x\sim f'(0)x$，$\displaystyle \ln f(x)-\ln f(0)\sim \frac{f'(0)}{f(0)}x$，故原式$\displaystyle =\frac{f'(0)x}{\frac{f'(0)}{f(0)}x}=f(0)=a$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将极限表达式变形，利用已知条件 f(0)=a, f'(0)=a
将分子 f(sin x)-a 写成 f(sin x)-f(0)，分母 ln[f(x)]-ln a 写成 ln f(x)-ln f(0)。
公式：f(0)=a, f'(0)=a
提示：注意 f(0)=a，所以 f(sin x)-a = f(sin x)-f(0)。
步骤 2/2
目标：利用等价无穷小替换和导数定义简化极限
当 x→0 时，sin x ~ x，由导数定义 f(sin x)-f(0) ~ f'(0) sin x ~ f'(0) x；ln f(x)-ln f(0) ~ (f'(0)/f(0)) x。代入原极限得 lim_{x→0} [f'(0)x] / [(f'(0)/f(0)) x] = f(0) = a。
公式：f(sin x)-f(0) ~ f'(0)x, ln f(x)-ln f(0) ~ (f'(0)/f(0)) x
提示：使用等价无穷小替换时，注意 sin x ~ x，且 ln(1+u) ~ u 当 u→0，这里 u = (f(x)-f(0))/f(0) ~ (f'(0)/f(0)) x。
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