kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【基础篇】第7题（选择题） 7．设函数 $f(x)$ 可导，$|f(x)|$ 在 $x=0$ 处不可导，则（ ）。 （A）$f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ （B）$f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0$ （C）$f(0) \neq 0, f^{\prime}(0)=0$ （D）$f(0) \neq 0, f^{\prime}(0) \neq 0$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：若$|f(x)|$在$x=0$处不可导，则$f(0)=0$，否则$|f(x)|$在$x=0$处可导。 步骤2：当$f(0)=0$时，$|f(x)|$在$x=0$处可导当且仅当$f'(0)=0$，故不可导时$f'(0)\neq0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析绝对值函数可导的必要条件
若|f(x)|在x=0处可导，则f(0)必须为0。因为如果f(0)≠0，则存在邻域内f(x)保持同号，|f(x)|=±f(x)可导。因此，若|f(x)|在x=0处不可导，则必有f(0)=0。
提示：考虑f(0)≠0时，绝对值函数在0附近可导。
步骤 2/3
目标：分析f(0)=0时绝对值可导的条件
当f(0)=0时，|f(x)|在x=0处可导当且仅当f'(0)=0。因为此时|f(x)|在0处的导数等于|f'(0)|，但需要左右导数相等，即f'(0)=0。因此，若不可导，则f'(0)≠0。
公式：|f(x)|在x=0处的导数：lim_{x→0} |f(x)|/x = |f'(0)|，但左右导数需相等，故f'(0)=0。
提示：利用导数定义，考虑左右极限。
步骤 3/3
目标：得出结论
综合以上，|f(x)|在x=0处不可导时，f(0)=0且f'(0)≠0，对应选项B。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。