kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【强化篇】第7题（解答题） 7．设 $\displaystyle g(0)=g^{\prime}(0)=0, f(x)= \begin{cases}g(x) \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \text { ，求 } f^{\prime}(0) \text { ，} \\ 0, & x=0,\end{cases}$
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**：步骤1：由导数定义，$\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{g(x)\sin\frac{1}{x}}{x}$。 步骤2：由$g(0)=0$，$g'(0)=0$，则$g(x)=o(x)$，故$\displaystyle \frac{g(x)\sin\frac{1}{x}}{x}\to0$，所以$f'(0)=0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用导数定义写出f'(0)的表达式
由导数定义，f'(0) = lim_{x→0} [f(x) - f(0)] / (x - 0) = lim_{x→0} [g(x) sin(1/x)] / x。
公式：f'(0) = lim_{x→0} (f(x)-f(0))/(x-0)
提示：注意f(0)=0，直接代入定义。
步骤 2/3
目标：利用已知条件g(0)=0, g'(0)=0得到g(x)的阶
由g(0)=0, g'(0)=0，根据导数定义，g'(0)=lim_{x→0} g(x)/x = 0，所以g(x)=o(x)，即当x→0时，g(x)/x → 0。
公式：g'(0) = lim_{x→0} g(x)/x = 0
提示：g(x)是比x高阶的无穷小。
步骤 3/3
目标：计算极限得到f'(0)
考虑极限lim_{x→0} [g(x) sin(1/x)] / x = lim_{x→0} [g(x)/x] * sin(1/x)。由于g(x)/x → 0，而|sin(1/x)| ≤ 1，有界，故乘积趋于0。因此f'(0)=0。
公式：lim_{x→0} (g(x)/x) * sin(1/x) = 0
提示：有界函数乘以无穷小仍为无穷小。
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