kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 【基础篇】第8题（填空题） 8．设函数 $f(x)$ 连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{\ln x}=2$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $x=1$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$y=2(x-1)+1$ **解析**：步骤1：由$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)-1}{\ln x}=2$，且$\ln x\sim x-1$，则$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)-1}{x-1}=2$，故$f(1)=1$，$f'(1)=2$。 步骤2：切线方程为$y-1=2(x-1)$，即$y=2x-1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：利用极限条件求f(1)和f'(1)
由极限定义，当x→1时，ln x ~ x-1，所以原极限等价于lim_{x→1} (f(x)-1)/(x-1) = 2。因此f(1)=1，且f'(1)=2。
公式：lim_{x→1} (f(x)-1)/(x-1) = f'(1)
提示：注意等价无穷小替换：ln(1+u)~u，这里u=x-1。
步骤 2/2
目标：写出切线方程
切线方程为y - f(1) = f'(1)(x-1)，代入f(1)=1，f'(1)=2得y-1=2(x-1)，即y=2x-1。
公式：y - y0 = k(x - x0)
提示：切线方程是点斜式，注意化简。
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