kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 【强化篇】第8题（解答题） 8．确定 $a, b$ 的值，使丽数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin a x, & x \leqslant 0, \\ \ln (1+x)+b, & x>0\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导．
💡 答案解析
**答案**：$a=1, b=0$ **解析**：步骤1：$f(x)$在$x=0$处连续，则$\lim_{x\to0^-}\sin ax=0$，$\lim_{x\to0^+}\ln(1+x)+b=b$，故$b=0$。 步骤2：$f(x)$在$x=0$处可导，左导数$\displaystyle f'_-(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{\sin ax-0}{x}=a$，右导数$\displaystyle f'_+(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(1+x)-0}{x}=1$，故$a=1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：利用连续性确定b
函数在x=0处连续，则左极限等于右极限等于函数值。左极限：lim_{x→0^-} sin(ax)=0；右极限：lim_{x→0^+} [ln(1+x)+b]=b。因此b=0。
公式：lim_{x→0^-} f(x)=lim_{x→0^+} f(x)=f(0)
提示：注意分段函数在分段点连续的条件。
步骤 2/2
目标：利用可导性确定a
函数在x=0处可导，则左导数等于右导数。左导数：f'_-(0)=lim_{x→0^-} (sin(ax)-0)/x = a；右导数：f'_+(0)=lim_{x→0^+} (ln(1+x)-0)/x = 1。因此a=1。
公式：f'_-(0)=f'_+(0)
提示：利用重要极限lim_{x→0} sin(ax)/x = a 和 lim_{x→0} ln(1+x)/x = 1。
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