kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【基础篇】第9题（选择题） 9．设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，且 $\Delta f(1)$ 是 $f(x)$ 在增量为 $\Delta x$ 时的函数值增量，则 $\displaystyle \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f(1)-\mathrm{d} f(1)}{\Delta r}=(\quad)$ 。 （A）$f^{\prime}(1)$ （B） 1 （C）$\infty$ （D） 0
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$\Delta f(1)=f(1+\Delta x)-f(1)$，$\mathrm{d}f(1)=f'(1)\Delta x$。 步骤2：$\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta f(1)-\mathrm{d}f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)-f'(1)\Delta x}{\Delta x}=0$，由可导定义。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出Δf(1)和df(1)的表达式
根据定义，Δf(1)=f(1+Δx)-f(1)，df(1)=f'(1)Δx。
公式：Δf(1)=f(1+Δx)-f(1), df(1)=f'(1)Δx
提示：注意Δf(1)是函数增量，df(1)是微分。
步骤 2/3
目标：代入极限表达式并化简
将Δf(1)和df(1)代入极限：lim_{Δx→0} [f(1+Δx)-f(1)-f'(1)Δx]/Δx。
公式：lim_{Δx→0} [f(1+Δx)-f(1)-f'(1)Δx]/Δx
提示：分子是函数增量减去微分。
步骤 3/3
目标：利用可导定义求极限
由f(x)在x=1处可导，导数定义知lim_{Δx→0} [f(1+Δx)-f(1)]/Δx = f'(1)，因此该极限等于f'(1)-f'(1)=0。
公式：lim_{Δx→0} [f(1+Δx)-f(1)]/Δx = f'(1)
提示：可导定义是本题关键。
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