kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某个邻域内可导且 $f(a)=0$ ，若其铯对值函数 $|f(x)|$ 在 $x=a$ 处
也可导，求 $f^{\prime}(a)$ 的值，并说明理由．
💡 答案解析
**答案**：$f^{\prime}(a)=0$ **解析**： 步骤1：由$f(a)=0$，且$|f(x)|$在$x=a$处可导，考虑导数定义。 步骤2：左导数：$\displaystyle \lim_{x\to a^-}\frac{|f(x)|-|f(a)|}{x-a}=\lim_{x\to a^-}\frac{|f(x)|}{x-a}$，右导数：$\displaystyle \lim_{x\to a^+}\frac{|f(x)|}{x-a}$。 步骤3：由于$f(x)$在$x=a$处可导，$f(x)=f^{\prime}(a)(x-a)+o(x-a)$，则$|f(x)|=|f^{\prime}(a)||x-a|+o(|x-a|)$。 步骤4：若$f^{\prime}(a)\neq0$，则$\displaystyle \frac{|f(x)|}{x-a}$在$x\to a^-$和$x\to a^+$时分别趋于$-|f^{\prime}(a)|$和$|f^{\prime}(a)|$，左右导数不相等，矛盾。故$f^{\prime}(a)=0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用导数定义，考虑左右导数
由f(a)=0，且|f(x)|在x=a处可导，根据导数定义，左导数为lim_{x→a^-} (|f(x)|-|f(a)|)/(x-a)=lim_{x→a^-} |f(x)|/(x-a)，右导数为lim_{x→a^+} |f(x)|/(x-a)。由于可导，左右导数相等。
公式：f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
提示：注意绝对值函数的处理，需分左右极限讨论。
步骤 2/3
目标：利用f(x)在x=a处的可导性进行泰勒展开
由于f(x)在x=a处可导，有f(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a)。代入绝对值，得|f(x)|=|f'(a)||x-a|+o(|x-a|)。
公式：f(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a)
提示：o(x-a)表示高阶无穷小。
步骤 3/3
目标：假设f'(a)≠0，导出矛盾
若f'(a)≠0，则当x→a-时，x-a<0，|f(x)|/(x-a)→-|f'(a)|；当x→a+时，x-a>0，|f(x)|/(x-a)→|f'(a)|。左右导数不相等，与|f(x)|在x=a处可导矛盾。故f'(a)=0。
提示：注意符号变化：x-a为负时，|x-a|=-(x-a)。
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