kaoyan1basic 高等数学 第10题
📝 题目
### 【基础篇】第10题（选择题） 10．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{3} \sin \frac{1}{x}, & x>0, \\ x^{2}, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处（ ）。 （A）不连续 （B）连续，但不可导 （C）可导，但导函数不连续 （D）可导，且导函数连续
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：连续性：$\displaystyle \lim_{x\to0^+}x^3\sin\frac1x=0$，$\lim_{x\to0^-}x^2=0$，且$f(0)=0$，故连续。 步骤2：可导性：$\displaystyle f^{\prime}_+(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{x^3\sin\frac1x-0}{x}=0$，$\displaystyle f^{\prime}_-(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{x^2-0}{x}=0$，故$f^{\prime}(0)=0$，可导。 步骤3：导函数连续性：$x>0$时$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2\sin\frac1x-x\cos\frac1x$，$\lim_{x\to0^+}f^{\prime}(x)$不存在（因$\displaystyle \cos\frac1x$振荡），故导函数在$x=0$处不连续。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断连续性
计算左极限、右极限和函数值。左极限：lim_{x→0^-} x^2 = 0；右极限：lim_{x→0^+} x^3 sin(1/x) = 0；f(0)=0。三者相等，故连续。
公式：lim_{x→0^-} f(x) = lim_{x→0^+} f(x) = f(0)
提示：利用无穷小乘以有界量仍为无穷小。
步骤 2/3
目标：判断可导性
计算左右导数。左导数：f'_-(0)=lim_{x→0^-} (x^2-0)/x = 0；右导数：f'_+(0)=lim_{x→0^+} (x^3 sin(1/x)-0)/x = lim_{x→0^+} x^2 sin(1/x)=0。左右导数相等，故可导，且f'(0)=0。
公式：f'(0) = lim_{x→0} (f(x)-f(0))/x
提示：注意右导数中x^2 sin(1/x)的极限仍为0。
步骤 3/3
目标：判断导函数连续性
求x>0时的导函数：f'(x)=3x^2 sin(1/x) - x cos(1/x)。计算lim_{x→0^+} f'(x)：第一项趋于0，第二项中cos(1/x)振荡，极限不存在。因此导函数在x=0处不连续。
公式：f'(x)=3x^2 sin(1/x) - x cos(1/x), x>0
提示：注意cos(1/x)在x→0+时振荡，导致极限不存在。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。