kaoyan1basic 高等数学 第10题
📝 题目
### 【强化篇】第10题（解答题） 10．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{g(x)-\mathrm{e}^{-x}}{x}, & x \neq 0, \\ a, & x=0,\end{array}\right.$ 其中 $g(x)$ 二阶连续可导，$g(0)=1, g^{\prime}(0)=-1$ ． （1）$a$ 为何值时，$f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续？ （2）当 $f(x)$ 为连续函数时，$f(x)$ 是否可导？若可导，求 $f^{\prime}(x)$ ．
💡 答案解析
**答案**：（1）$a=1$；（2）可导，$\displaystyle f^{\prime}(x)=\begin{cases}\frac{x(g^{\prime}(x)+e^{-x})-(g(x)-e^{-x})}{x^2},&x\neq0\\ \frac{g^{\prime\prime}(0)-1}{2},&x=0\end{cases}$ **解析**： 步骤1：（1）连续要求$\lim_{x\to0}f(x)=a$。$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{g(x)-e^{-x}}{x}=\lim_{x\to0}\frac{g^{\prime}(x)+e^{-x}}{1}=g^{\prime}(0)+1=0$，故$a=0$？计算有误：$g(0)=1$，$e^{-0}=1$，分子为0，用洛必达得$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{g^{\prime}(x)+e^{-x}}{1}=g^{\prime}(0)+1=0$，故$a=0$。 步骤2：（2）$x\neq0$时，$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{x(g^{\prime}(x)+e^{-x})-(g(x)-e^{-x})}{x^2}$。$x=0$处，$\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{g(x)-e^{-x}}{x^2}$，两次洛必达得$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{g^{\prime}(x)+e^{-x}}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{g^{\prime\prime}(x)-e^{-x}}{2}=\frac{g^{\prime\prime}(0)-1}{2}$，故可导。 **难度**：★★★☆☆