kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 【基础篇】第11题（选择题） 11．设 $\varphi(x)$ 具有一阶连续导数，$f(x)=\varphi(x)[1+|\ln (1+x)|]$ ，则 $\varphi(0)=0$ 是 $f(x)$ 在 $x=$处可导的（ ）。 （A）充分必要杀件 （B）充分非必要条件 （C）必要非充分条件 （D）既非充分又非必要条件
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$f(x)=\varphi(x)[1+|\ln(1+x)|]$，在$x=0$处可导需考虑绝对值部分。 步骤2：$|\ln(1+x)|$在$x=0$处不可导（左导数为-1，右导数为1），但乘以$\varphi(x)$后，若$\varphi(0)=0$，则$f(x)$在$x=0$处可导（导数存在且为0）。 步骤3：反之，若$f(x)$在$x=0$处可导，则$\varphi(0)$必须为0，否则不可导。故为充要条件。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析函数可导性条件
函数 f(x)=φ(x)[1+|ln(1+x)|] 在 x=0 处可导，需考虑绝对值部分 |ln(1+x)| 在 x=0 处的可导性。由于 ln(1+x) 在 x=0 处可导，但绝对值导致左右导数不同：左导数为 -1，右导数为 1，因此 |ln(1+x)| 在 x=0 处不可导。
公式：|ln(1+x)| 在 x=0 处左导数为 -1，右导数为 1
提示：注意绝对值函数在转折点处通常不可导，除非乘以一个因子使其导数为0。
步骤 2/4
目标：推导 φ(0)=0 为可导的充分条件
若 φ(0)=0，则 f(x) 在 x=0 处可导。因为 f(x) 可写为 φ(x) + φ(x)|ln(1+x)|，其中 φ(x) 可导，而 φ(x)|ln(1+x)| 在 x=0 处导数为 0（因为 φ(0)=0 且 |ln(1+x)| 有界，利用导数定义可证）。
公式：f'(0)=φ'(0) + 0 = φ'(0)
提示：利用导数定义：lim_{x→0} [φ(x)|ln(1+x)|]/x = φ(0) * lim_{x→0} |ln(1+x)|/x = 0。
步骤 3/4
目标：推导 φ(0)=0 为可导的必要条件
若 f(x) 在 x=0 处可导，则 φ(0) 必须为 0。反证：若 φ(0)≠0，则 f(x) 在 x=0 处不可导，因为 |ln(1+x)| 不可导部分乘以非零常数后仍不可导。
公式：f(x) 可导 ⇒ φ(0)=0
提示：考虑左右导数：左导数为 φ(0)(-1)+φ'(0)，右导数为 φ(0)(1)+φ'(0)，若 φ(0)≠0，则左右导数不相等。
步骤 4/4
目标：得出结论
因此，φ(0)=0 是 f(x) 在 x=0 处可导的充分必要条件。
提示：注意题目中 x=0 处，因为 ln(1+x) 定义域需 x>-1，0 在内部。
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