kaoyan1basic 高等数学 第11题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第11题（解答题） 11．设 $f(x)$ 有二阶连续导函数，且 $f(0)=0$ ，令 $\displaystyle g(x)= \begin{cases}\frac{f(x)}{x}, & x \neq 0, \\ f^{\prime}(0), & x=0 .\end{cases}$ （1）求 $g^{\prime}(x)$ ； （2）讨论 $g^{\prime}(x)$ 在点 $x=0$ 处的连续性．

💡 答案解析

**答案**：（1）$\displaystyle g^{\prime}(x)=\begin{cases}\frac{xf^{\prime}(x)-f(x)}{x^2},&x\neq0\\ \frac{f^{\prime\prime}(0)}{2},&x=0\end{cases}$；（2）连续 **解析**： 步骤1：（1）$x\neq0$时，$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{xf^{\prime}(x)-f(x)}{x^2}$。$x=0$处，$\displaystyle g^{\prime}(0)=\lim_{x\to0}\frac{g(x)-g(0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)/x-f^{\prime}(0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-xf^{\prime}(0)}{x^2}=\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2}$（洛必达）。 步骤2：（2）$\displaystyle \lim_{x\to0}g^{\prime}(x)=\lim_{x\to0}\frac{xf^{\prime}(x)-f(x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{f^{\prime}(x)+xf^{\prime\prime}(x)-f^{\prime}(x)}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{f^{\prime\prime}(x)}{2}=\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2}=g^{\prime}(0)$，故连续。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：求 x≠0 时 g'(x) 的表达式
当 x≠0 时，g(x)=f(x)/x，直接求导得 g'(x)=[x f'(x)-f(x)]/x^2。
公式：g'(x) = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2}
提示：使用商的求导法则。
步骤 2/3
目标：求 x=0 时 g'(0) 的值
利用导数定义：g'(0)=lim_{x→0} [g(x)-g(0)]/x = lim_{x→0} [f(x)/x - f'(0)]/x = lim_{x→0} [f(x)-x f'(0)]/x^2。由于 f 二阶可导且 f(0)=0，使用洛必达法则，分子分母同时求导得 lim_{x→0} [f'(x)-f'(0)]/(2x) = (1/2) f''(0)。
公式：g'(0) = \frac{f''(0)}{2}
提示：注意使用洛必达法则时需验证条件。
步骤 3/3
目标：讨论 g'(x) 在 x=0 处的连续性
计算 lim_{x→0} g'(x) = lim_{x→0} [x f'(x)-f(x)]/x^2。使用洛必达法则，分子分母求导得 lim_{x→0} [f'(x)+x f''(x)-f'(x)]/(2x) = lim_{x→0} f''(x)/2 = f''(0)/2。由于该极限等于 g'(0)，故 g'(x) 在 x=0 处连续。
公式：\lim_{x\to 0} g'(x) = \frac{f''(0)}{2} = g'(0)
提示：注意洛必达法则的适用条件，以及 f''(x) 的连续性。

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