kaoyan1basic 高等数学 第12题

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📝 题目

### 【基础篇】第12题（填空题） 12．设 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，$\displaystyle x_{n}=\sin \frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(x_{0}+\frac{1}{n}\right)-f\left(x_{0}-x_{n}\right)}{\sin \frac{1}{n}}=$ $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**：$2f^{\prime}(x_0)$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle x_n=\sin\frac1n+\frac1{n^2}$，$\displaystyle \sin\frac1n\sim\frac1n$，故$\displaystyle x_n\sim\frac1n$。 步骤2：原极限$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{f(x_0+\frac1n)-f(x_0-x_n)}{\sin\frac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{f(x_0+\frac1n)-f(x_0)+f(x_0)-f(x_0-x_n)}{\frac1n}$。 步骤3：$\displaystyle f(x_0+\frac1n)-f(x_0)\sim f^{\prime}(x_0)\cdot\frac1n$，$\displaystyle f(x_0)-f(x_0-x_n)\sim f^{\prime}(x_0)\cdot x_n\sim f^{\prime}(x_0)\cdot\frac1n$，故极限$=f^{\prime}(x_0)+f^{\prime}(x_0)=2f^{\prime}(x_0)$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：化简分子中的差项
将分子拆分为两部分：f(x0+1/n)-f(x0) 和 f(x0)-f(x0-x_n)，并利用极限的加法法则将原极限转化为两个极限之和。
公式：原极限 = lim_{n→∞} [f(x0+1/n)-f(x0)]/sin(1/n) + lim_{n→∞} [f(x0)-f(x0-x_n)]/sin(1/n)
提示：注意 sin(1/n) ~ 1/n，因此分母可替换为 1/n。
步骤 2/4
目标：处理第一个极限
利用导数定义：lim_{n→∞} [f(x0+1/n)-f(x0)]/(1/n) = f'(x0)，而分母 sin(1/n) ~ 1/n，故第一个极限为 f'(x0)。
公式：lim_{n→∞} [f(x0+1/n)-f(x0)]/sin(1/n) = f'(x0)
提示：等价无穷小替换：sin(1/n) ~ 1/n。
步骤 3/4
目标：处理第二个极限
先处理分子：f(x0)-f(x0-x_n) = f(x0-x_n)-f(x0) 的相反数，利用导数定义：lim_{n→∞} [f(x0-x_n)-f(x0)]/(-x_n) = f'(x0)，即 [f(x0)-f(x0-x_n)]/x_n → f'(x0)。又 x_n ~ 1/n，且分母 sin(1/n) ~ 1/n，故第二个极限为 f'(x0)。
公式：lim_{n→∞} [f(x0)-f(x0-x_n)]/sin(1/n) = f'(x0)
提示：注意 x_n = sin(1/n)+1/n^2 ~ 1/n，因此 x_n/sin(1/n) → 1。
步骤 4/4
目标：合并结果
将两个极限相加得到最终结果。
公式：原极限 = f'(x0) + f'(x0) = 2f'(x0)

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