kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【强化篇】第12题（解答题） 12．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \arctan \frac{1}{\sqrt{x}}, & x>0, \\ \frac{\pi}{2}\left(\mathrm{e}^{\sin x}-1\right), & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 讨论 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处的连续性和可导性；若可导，讨论其导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性．
💡 答案解析
**答案**：连续且可导，$f^{\prime}(x)$在$x=0$处连续 **解析**： 步骤1：连续性：$\displaystyle \lim_{x\to0^+}x\arctan\frac1{\sqrt{x}}=0$（因$\displaystyle \arctan\frac1{\sqrt{x}}\to\frac\pi2$），$\displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac\pi2(e^{\sin x}-1)=0$，$f(0)=0$，故连续。 步骤2：可导性：$\displaystyle f^{\prime}_+(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{x\arctan\frac1{\sqrt{x}}}{x}=\frac\pi2$，$\displaystyle f^{\prime}_-(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{\frac\pi2(e^{\sin x}-1)}{x}=\frac\pi2$（因$e^{\sin x}-1\sim\sin x\sim x$），故$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac\pi2$。 步骤3：$x>0$时$\displaystyle f^{\prime}(x)=\arctan\frac1{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{2(1+x)}$，$\displaystyle \lim_{x\to0^+}f^{\prime}(x)=\frac\pi2$；$x<0$时$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac\pi2 e^{\sin x}\cos x$，$\displaystyle \lim_{x\to0^-}f^{\prime}(x)=\frac\pi2$，故$f^{\prime}(x)$在$x=0$处连续。 **难度**：★★★☆☆