kaoyan1basic 高等数学 第13题
📝 题目
### 【基础篇】第13题（填空题） 13．设 $f(x)$ 为在 $x=0$ 处可导的奇函数，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(t x)-5 f(x)}{x}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$(t-5)f^{\prime}(0)$ **解析**： 步骤1：$f(x)$为奇函数且可导，则$f(0)=0$，$f^{\prime}(0)$存在。 步骤2：原极限$\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{f(tx)-5f(x)}{x}=t\lim_{x\to0}\frac{f(tx)}{tx}-5\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=tf^{\prime}(0)-5f^{\prime}(0)=(t-5)f^{\prime}(0)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用奇函数性质确定f(0)=0
由于f(x)是奇函数且在x=0处可导，则f(0)=0。
公式：f(0)=0
提示：奇函数在0点有定义时，f(0)=0。
步骤 2/5
目标：将极限拆分为两个部分
原极限 = lim_{x→0} [f(tx)/x] - 5 lim_{x→0} [f(x)/x]。
公式：lim_{x→0} (f(tx)-5f(x))/x = lim_{x→0} f(tx)/x - 5 lim_{x→0} f(x)/x
提示：利用极限的线性性质拆分。
步骤 3/5
目标：对第一项进行变量代换
令u=tx，则当x→0时，u→0，且f(tx)/x = t * f(u)/u。所以第一项 = t * lim_{u→0} f(u)/u = t f'(0)。
公式：lim_{x→0} f(tx)/x = t * lim_{u→0} f(u)/u = t f'(0)
提示：注意代换后极限形式与导数定义一致。
步骤 4/5
目标：第二项直接利用导数定义
lim_{x→0} f(x)/x = f'(0)。
公式：lim_{x→0} f(x)/x = f'(0)
提示：由f(0)=0，该极限即为导数定义。
步骤 5/5
目标：合并结果
原极限 = t f'(0) - 5 f'(0) = (t-5) f'(0)。
公式：原极限 = (t-5) f'(0)
提示：最终结果与t和f'(0)有关。
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