kaoyan1basic 高等数学 第13题
📝 题目
### 【强化篇】第13题（选择题） 13．设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，则 $|f(x)|$ 在 $x=a$ 处不可导的充分必要条件是（）。 （A）$f(a)=0, f^{\prime}(a)=0$ （B）$f(a)=0, f^{\prime}(a) \neq 0$ （C）$f(a) \neq 0, f^{\prime}(a)=0$ （D）$f(a) \neq 0, f^{\prime}(a) \neq 0$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$|f(x)|$在$x=a$处可导的充要条件是$f(a)\neq0$或$f(a)=0$且$f^{\prime}(a)=0$。 步骤2：不可导的充要条件是$f(a)=0$且$f^{\prime}(a)\neq0$，此时左右导数互为相反数。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析|f(x)|在x=a处可导的条件
首先，考虑|f(x)|在x=a处可导的充要条件。若f(a)≠0，则|f(x)|在x=a处可导，因为此时f(x)在a附近不变号。若f(a)=0，则需考虑导数定义：|f(x)|在x=a处可导当且仅当f'(a)=0，此时左右导数均为0。
提示：注意f(a)=0时，|f(x)|的导数与f'(a)的符号有关。
步骤 2/3
目标：推导不可导的充要条件
由可导条件取反，得|f(x)|在x=a处不可导的充要条件是f(a)=0且f'(a)≠0。此时，左导数为-|f'(a)|，右导数为|f'(a)|，两者互为相反数，故不可导。
提示：左右导数不相等是判断不可导的关键。
步骤 3/3
目标：匹配选项
选项B：f(a)=0, f'(a)≠0，符合不可导条件。其他选项均不满足。
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