kaoyan1basic 高等数学 第14题
📝 题目
### 【基础篇】第14题（填空题） 14．设 $f(x)=\max \left\{2 x, x^{2}\right\}, x \in(0,4)$ ，且 $f^{\prime}(a)$ 不存在，$a \in(0,4)$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：$f(x)=\max\{2x,x^2\}$在$(0,4)$上，解$2x=x^2$得$x=0$或$x=2$，在$(0,4)$内分界点为$x=2$。 步骤2：$x<2$时$f(x)=2x$，$x>2$时$f(x)=x^2$，在$x=2$处左导数$2$，右导数$4$，故不可导。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定分界点
解方程 2x = x^2，得 x=0 或 x=2。在区间 (0,4) 内，分界点为 x=2。
公式：2x = x^2
提示：注意定义域为 (0,4)，只考虑区间内的解。
步骤 2/4
目标：写出分段函数表达式
当 0 x^2，故 f(x)=2x；当 2 2x，故 f(x)=x^2。
提示：比较两个函数的大小，取较大者。
步骤 3/4
目标：计算左右导数
左导数：f'_-(2) = (2x)'|_{x=2} = 2；右导数：f'_+(2) = (x^2)'|_{x=2} = 4。
公式：f'_-(2)=2, f'_+(2)=4
提示：分段函数在分界点处可导当且仅当左右导数相等。
步骤 4/4
目标：判断不可导点
左右导数不相等，故 f(x) 在 x=2 处不可导。因此 a=2。
提示：不可导点通常出现在分段点、尖点等位置。
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