kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
### 【基础篇】第16题（解答题） 16．已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+2 x+b, & x \leqslant 0, \\ \ln (1+a x), & x>0\end{array}\right.$ 处处可导，试确定常数 $a$ 和 $b$ 的值，并求出 $f^{\prime}(x)$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a=2$，$b=0$，$f^{\prime}(x)=\begin{cases}2x+2,&x<0\\ 2,&x>0\end{cases}$，$f^{\prime}(0)=2$ **解析**： 步骤1：连续：$\lim_{x\to0^-}(x^2+2x+b)=b$，$\lim_{x\to0^+}\ln(1+ax)=0$，故$b=0$。 步骤2：可导：左导数$\displaystyle f^{\prime}_-(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{x^2+2x}{x}=2$，右导数$\displaystyle f^{\prime}_+(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(1+ax)}{x}=a$，故$a=2$。 步骤3：$x<0$时$f^{\prime}(x)=2x+2$，$x>0$时$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{2}{1+2x}$，$f^{\prime}(0)=2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用连续性确定b
由于函数处处可导，则必连续。计算左极限：lim_{x→0^-} (x^2+2x+b)=b；右极限：lim_{x→0^+} ln(1+ax)=0。由连续得b=0。
公式：lim_{x→0^-} f(x)=lim_{x→0^+} f(x)=f(0)
提示：注意分段函数在分段点连续的条件是左右极限相等且等于函数值。
步骤 2/3
目标：利用可导性确定a
计算左导数：f'_-(0)=lim_{x→0^-} (x^2+2x)/x=2；右导数：f'_+(0)=lim_{x→0^+} ln(1+ax)/x=a。由可导得左右导数相等，故a=2。
公式：f'_-(0)=lim_{x→0^-} (f(x)-f(0))/x, f'_+(0)=lim_{x→0^+} (f(x)-f(0))/x
提示：右导数极限可用等价无穷小ln(1+ax)~ax。
步骤 3/3
目标：求导函数表达式
当x<0时，f(x)=x^2+2x，求导得f'(x)=2x+2；当x>0时，f(x)=ln(1+2x)，求导得f'(x)=2/(1+2x)；在x=0处，f'(0)=2。
公式：f'(x)=2x+2 (x<0); f'(x)=2/(1+2x) (x>0); f'(0)=2
提示：注意分段点处的导数需单独说明。
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