kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
### 【强化篇】第16题（解答题） 16．设 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，且 $f(a) \neq 0$ ，计算 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{f\left(a+\frac{1}{x}\right)}{f(a)}\right]^{x}$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle e^{\frac{f^{\prime}(a)}{f(a)}}$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle I=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{f\left(a+\frac1x\right)}{f(a)}\right]^x=\exp\left(\lim_{x\to\infty}x\ln\frac{f\left(a+\frac1x\right)}{f(a)}\right)$。 步骤2：令$\displaystyle t=\frac1x$，则$t\to0$，$\displaystyle \ln\frac{f(a+t)}{f(a)}\sim\frac{f(a+t)-f(a)}{f(a)}\sim\frac{f^{\prime}(a)t}{f(a)}$。 步骤3：原极限$\displaystyle =\exp\left(\lim_{t\to0}\frac1t\cdot\frac{f^{\prime}(a)t}{f(a)}\right)=e^{\frac{f^{\prime}(a)}{f(a)}}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将极限转化为指数形式
由于极限形式为1^∞，利用恒等式a^b = e^{b ln a}，得到I = exp(lim_{x→∞} x ln(f(a+1/x)/f(a)))
公式：I = exp(lim_{x→∞} x ln(f(a+1/x)/f(a)))
提示：注意指数函数的连续性，将极限移到指数上
步骤 2/4
目标：变量代换简化极限
令t=1/x，则x→∞时t→0，原极限化为exp(lim_{t→0} (1/t) ln(f(a+t)/f(a)))
公式：I = exp(lim_{t→0} (1/t) ln(f(a+t)/f(a)))
提示：代换后注意t趋近于0
步骤 3/4
目标：利用等价无穷小替换
当t→0时，ln(f(a+t)/f(a)) = ln(1 + (f(a+t)-f(a))/f(a)) ~ (f(a+t)-f(a))/f(a) ~ f'(a)t/f(a)
公式：ln(f(a+t)/f(a)) ~ f'(a)t/f(a)
提示：利用f在a处可导，f(a+t)-f(a) ~ f'(a)t，且f(a)≠0
步骤 4/4
目标：计算极限并得到结果
代入等价无穷小，得lim_{t→0} (1/t) * (f'(a)t/f(a)) = f'(a)/f(a)，因此I = e^{f'(a)/f(a)}
公式：I = e^{f'(a)/f(a)}
提示：注意极限计算后指数形式
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