kaoyan1basic 高等数学 第17题
📝 题目
### 【强化篇】第17题（选择题） 17．设 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域内有定义，在 $x=a$ 的某去心邻域内可导，下述论断正确的是（）。 （A）若 $\lim _{x \rightarrow a} f^{\prime}(x)=A$ ，则 $f^{\prime}(a)=A$ （B）若 $f^{\prime}(a)=A$ ，则 $\lim _{x \rightarrow a} f^{\prime}(x)=A$ （C）若 $\lim _{x \rightarrow a} f^{\prime}(x)=\infty$ ，则 $f^{\prime}(a)$ 不存在 （D）若 $f^{\prime}(a)$ 不存在，则 $\lim _{x \rightarrow-a}(x)=\infty$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：对于选项（A），反例：$\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^2\sin\frac{1}{x}, & x\neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$，在$x=0$处$\lim_{x\to0}f'(x)$不存在，但$f'(0)=0$，故（A）错误。 步骤2：对于选项（B），反例：$\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^2\sin\frac{1}{x}, & x\neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$，$f'(0)=0$，但$\lim_{x\to0}f'(x)$不存在，故（B）错误。 步骤3：对于选项（C），若$\lim_{x\to a}f'(x)=\infty$，则$f'(a)$不存在，否则若$f'(a)$存在，由导数极限定理知$\lim_{x\to a}f'(x)=f'(a)$，矛盾，故（C）正确。 步骤4：对于选项（D），反例：$f(x)=|x|$在$x=0$处不可导，但$\lim_{x\to0}f'(x)$不存在且不为无穷，故（D）错误。 **难度**：★★★☆☆