kaoyan1basic 高等数学 第18题
📝 题目
### 【强化篇】第18题（填空题） 18．设 $\displaystyle f(x)=\frac{\ln |x|}{2 x^{2}-\ln |x|}$ ，则 $f^{\prime}(-1)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{2}$ **解析**：步骤1：$\displaystyle f(x)=\frac{\ln|x|}{2x^2-\ln|x|}$，当$x=-1$时，$\ln|x|=\ln1=0$，$f(-1)=0$。 步骤2：由导数定义，$\displaystyle f'(-1)=\lim_{x\to -1}\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\lim_{x\to -1}\frac{\frac{\ln|x|}{2x^2-\ln|x|}}{x+1}$。 步骤3：令$t=x+1$，则$x=t-1$，当$x\to -1$时$t\to0$，$\ln|x|=\ln|t-1|=\ln(1-t)\sim -t$（$t\to0$），$2x^2=2(t-1)^2=2(1-2t+t^2)\sim 2-4t$，分母$2x^2-\ln|x|\sim 2-4t+t=2-3t\sim 2$。 步骤4：原极限$\displaystyle =\lim_{t\to0}\frac{-t}{2t}=-\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算函数在x=-1处的函数值
当x=-1时，ln|x|=ln1=0，代入f(x)得f(-1)=0。
提示：注意绝对值处理，ln1=0。
步骤 2/4
目标：利用导数定义写出极限表达式
由导数定义，f'(-1)=lim_{x→-1} [f(x)-f(-1)]/(x+1)=lim_{x→-1} [ln|x|/(2x^2-ln|x|)]/(x+1)。
公式：f'(a)=lim_{x→a} (f(x)-f(a))/(x-a)
提示：因为f(-1)=0，所以分子就是f(x)。
步骤 3/4
目标：变量替换并利用等价无穷小简化
令t=x+1，则x=t-1，当x→-1时t→0。ln|x|=ln|t-1|=ln(1-t) ~ -t（t→0），2x^2=2(t-1)^2=2(1-2t+t^2) ~ 2-4t，分母2x^2-ln|x| ~ 2-4t - (-t)=2-3t ~ 2。
公式：ln(1-u) ~ -u (u→0)
提示：注意ln|t-1|在t→0时，t-1<0，但绝对值后为1-t，所以ln(1-t) ~ -t。
步骤 4/4
目标：计算极限得到导数
原极限 = lim_{t→0} (-t)/(2t) = -1/2。
提示：注意分母的2来自2x^2的近似，分子ln|x|~ -t，分母x+1=t，整体约去t。
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