kaoyan1basic 高等数学 第19题
📝 题目
### 【强化篇】第19题（填空题） 19．设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-b}{x-a}=A$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{\cos f(x)-\cos b}{x-a}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$-A\sin b$ **解析**：步骤1：由条件$\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)-b}{x-a}=A$，知$f(a)=b$，$f'(a)=A$。 步骤2：所求极限$\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{\cos f(x)-\cos b}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{-\sin\xi\cdot(f(x)-b)}{x-a}$（其中$\xi$介于$f(x)$与$b$之间），由连续性，$\xi\to b$。 步骤3：原式$\displaystyle =-\sin b\cdot\lim_{x\to a}\frac{f(x)-b}{x-a}=-A\sin b$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：由条件得出f(a)=b和f'(a)=A
已知极限存在，因此f(x)在x=a处连续且可导，且f(a)=b，f'(a)=A。
公式：lim_{x→a} (f(x)-b)/(x-a)=A ⇒ f(a)=b, f'(a)=A
提示：注意极限定义与导数定义的联系。
步骤 2/3
目标：应用拉格朗日中值定理转化分子
cos f(x) - cos b = -sin ξ · (f(x)-b)，其中ξ介于f(x)与b之间。当x→a时，f(x)→b，故ξ→b。
公式：cos u - cos v = -sin ξ (u-v)
提示：拉格朗日中值定理或和差化积公式均可。
步骤 3/3
目标：计算极限
原极限 = lim_{x→a} [-sin ξ · (f(x)-b)/(x-a)] = -sin b · lim_{x→a} (f(x)-b)/(x-a) = -A sin b。
公式：lim_{x→a} sin ξ = sin b
提示：利用连续性将ξ替换为b。
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