kaoyan1basic 高等数学 第20题
📝 题目
### 【强化篇】第20题（解答题） 20．已知函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(\cos x)-3 f\left(1+\sin ^{2} x\right)}{x^{2}}=2$ ，求 $f^{\prime}(1)$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle f'(1)=-\frac{1}{2}$ **解析**：步骤1：令$x\to0$，则$\cos x\to1$，$1+\sin^2 x\to1$，由$f(x)$在$x=1$处可导，故$f$在$x=1$处连续。 步骤2：将分子加减$3f(1)$：原极限$\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{[f(\cos x)-f(1)]-3[f(1+\sin^2 x)-f(1)]}{x^2}=2$。 步骤3：由导数定义，$f(\cos x)-f(1)=f'(1)(\cos x-1)+o(\cos x-1)$，$\displaystyle \cos x-1\sim -\frac{x^2}{2}$；$f(1+\sin^2 x)-f(1)=f'(1)\sin^2 x+o(\sin^2 x)$，$\sin^2 x\sim x^2$。 步骤4：代入得$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f'(1)(-\frac{x^2}{2})-3f'(1)x^2}{x^2}=f'(1)(-\frac{1}{2}-3)=-\frac{7}{2}f'(1)=2$，解得$\displaystyle f'(1)=-\frac{4}{7}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用连续性将极限表达式变形
由于 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，故在 $x=1$ 处连续。当 $x \to 0$ 时，$\cos x \to 1$，$1+\sin^2 x \to 1$。将分子加减 $3f(1)$，得原极限 $\displaystyle =\lim_{x\to 0}\frac{[f(\cos x)-f(1)]-3[f(1+\sin^2 x)-f(1)]}{x^2}=2$。
公式：$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{[f(\cos x)-f(1)]-3[f(1+\sin^2 x)-f(1)]}{x^2}=2$
提示：注意利用连续性和加减同一项的方法构造导数定义形式。
步骤 2/3
目标：应用导数定义和等价无穷小替换
由导数定义，$f(\cos x)-f(1)=f'(1)(\cos x-1)+o(\cos x-1)$，且 $\cos x-1 \sim -\frac{x^2}{2}$；$f(1+\sin^2 x)-f(1)=f'(1)\sin^2 x+o(\sin^2 x)$，且 $\sin^2 x \sim x^2$。代入极限表达式。
公式：$\cos x-1 \sim -\frac{x^2}{2},\quad \sin^2 x \sim x^2$
提示：注意高阶无穷小在极限计算中可忽略，但需确保替换后分母次数一致。
步骤 3/3
目标：计算极限并求解导数
代入得 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f'(1)(-\frac{x^2}{2})-3f'(1)x^2}{x^2}=f'(1)\left(-\frac{1}{2}-3\right)=-\frac{7}{2}f'(1)=2$，解得 $f'(1)=-\frac{4}{7}$。
公式：$-\frac{7}{2}f'(1)=2$
提示：注意符号和系数计算，避免算术错误。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。