kaoyan1basic 高等数学 第21题
📝 题目
### 【强化篇】第21题（解答题） 21．设 $f(x)$ 是非负连续函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{2}(x)-a}{x^{2}-a^{2}}=1(a>0)$ ，求 $f^{\prime}(a)$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle f'(a)=\frac{1}{2\sqrt{a}}$ **解析**：步骤1：由$\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f^2(x)-a}{x^2-a^2}=1$，分母$x^2-a^2\to0$，故分子$f^2(x)-a\to0$，即$f^2(a)=a$，因$f(x)\ge0$，得$f(a)=\sqrt{a}$。 步骤2：原极限$\displaystyle =\lim_{x\to a}\frac{(f(x)-\sqrt{a})(f(x)+\sqrt{a})}{(x-a)(x+a)}=1$。 步骤3：当$x\to a$时，$f(x)+\sqrt{a}\to 2\sqrt{a}$，$x+a\to 2a$，故$\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)-\sqrt{a}}{x-a}\cdot\frac{2\sqrt{a}}{2a}=1$，即$\displaystyle \frac{f'(a)\sqrt{a}}{a}=1$。 步骤4：解得$\displaystyle f'(a)=\sqrt{a}=\frac{1}{\sqrt{a}}\cdot a$，即$\displaystyle f'(a)=\frac{a}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}$，整理得$\displaystyle f'(a)=\frac{1}{2\sqrt{a}}$。 **难度**：★★★☆☆