kaoyan1basic 高等数学 第22题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第22题（解答题） 22．已知 $\displaystyle a_{n}=1-\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-\sin \frac{1}{n^{2}}$ ，可导函数 $y=f(x)-\sin x$ 在 $x=0$ 处取得极值．计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(a_{n}\right)\right]$ ．

💡 答案解析

**答案**：$1$ **解析**：步骤1：$\displaystyle a_n=1-e^{\frac{1}{n}}-\sin\frac{1}{n^2}$，当$n\to\infty$时，$\displaystyle e^{\frac{1}{n}}=1+\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n})$，$\displaystyle \sin\frac{1}{n^2}=\frac{1}{n^2}+o(\frac{1}{n^2})$，故$\displaystyle a_n=1-(1+\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n}))-\frac{1}{n^2}+o(\frac{1}{n^2})=-\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n})$。 步骤2：可导函数$y=f(x)-\sin x$在$x=0$处取得极值，则$y'(0)=f'(0)-\cos0=0$，即$f'(0)=1$。 步骤3：所求极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}n[f(\frac{1}{n})-f(a_n)]=\lim_{n\to\infty}n[f(\frac{1}{n})-f(-\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n}))]$。 步骤4：由导数定义，$\displaystyle f(\frac{1}{n})=f(0)+f'(0)\cdot\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n})$，$\displaystyle f(a_n)=f(0)+f'(0)\cdot(-\frac{1}{n})+o(\frac{1}{n})$，相减得$\displaystyle f(\frac{1}{n})-f(a_n)=\frac{2}{n}+o(\frac{1}{n})$，乘以$n$得极限$2$。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：化简 a_n 的等价无穷小形式
当 n→∞ 时，利用泰勒展开：e^(1/n)=1+1/n+o(1/n)，sin(1/n^2)=1/n^2+o(1/n^2)。代入 a_n=1-e^(1/n)-sin(1/n^2) 得 a_n=1-(1+1/n+o(1/n))-1/n^2+o(1/n^2) = -1/n+o(1/n)。
公式：e^x=1+x+o(x), sin x=x+o(x)
提示：注意展开到一阶即可，因为后面需要比较 1/n 的量级。
步骤 2/3
目标：利用极值条件求 f'(0)
已知 y=f(x)-sin x 在 x=0 处取得极值，且可导，则 y'(0)=0。计算 y'(x)=f'(x)-cos x，代入 x=0 得 f'(0)-cos0=0，所以 f'(0)=1。
公式：极值必要条件：f'(x0)=0
提示：注意是 y=f(x)-sin x 在 x=0 处取极值，不是 f(x)。
步骤 3/3
目标：将极限表达式转化为导数定义形式
所求极限为 lim_{n→∞} n[f(1/n)-f(a_n)]。由于 a_n ~ -1/n，故 f(a_n) 可写为 f(-1/n+o(1/n))。利用导数定义：f(1/n)=f(0)+f'(0)*(1/n)+o(1/n)，f(a_n)=f(0)+f'(0)*(-1/n)+o(1/n)。相减得 f(1/n)-f(a_n)=2f'(0)/n+o(1/n)=2/n+o(1/n)。乘以 n 得极限为 2。
公式：f(x)=f(0)+f'(0)x+o(x)
提示：注意 f(0) 相减抵消，只保留一阶项。

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