kaoyan1basic 高等数学 第23题

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📝 题目

### 【强化篇】第23题（选择题） 23．设连续函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 点可导，$f\left(x_{0}\right)=x_{0}^{2}, f^{\prime}\left(x_{0}\right)>2 x_{0}$ ，则存在 $\delta>0$ ，使 （1）$f(x)-x^{2}$ 在 $\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ 单调增加； （2）$f(x)-x^{2}$ 在 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right)$ 单调减少； （3）对任意 $x \in\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ ，有 $f(x)>x^{2}$ ； （4）对任意 $x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right)$ ，有 $f(x)

💡 答案解析

**答案**：B **解析**：步骤1：令$g(x)=f(x)-x^2$，则$g(x_0)=f(x_0)-x_0^2=0$，$g'(x_0)=f'(x_0)-2x_0>0$。 步骤2：由导数定义，$\displaystyle g'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{x-x_0}>0$。 步骤3：由极限保号性，存在$\delta>0$，当$x\in(x_0,x_0+\delta)$时，$\displaystyle \frac{g(x)}{x-x_0}>0$，因$x-x_0>0$，故$g(x)>0$，即$f(x)>x^2$；当$x\in(x_0-\delta,x_0)$时，$\displaystyle \frac{g(x)}{x-x_0}>0$，因$x-x_0<0$，故$g(x)<0$，即$f(x)

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：构造辅助函数并求导
令 $g(x)=f(x)-x^2$，则 $g(x_0)=f(x_0)-x_0^2=0$，$g'(x_0)=f'(x_0)-2x_0>0$。
公式：$g(x)=f(x)-x^2$
提示：构造差函数是处理函数比较问题的常用方法。
步骤 2/3
目标：利用导数定义和极限保号性
由导数定义，$g'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{x-x_0}>0$。由极限保号性，存在 $\delta>0$，当 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 时，$\frac{g(x)}{x-x_0}>0$；当 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 时，$\frac{g(x)}{x-x_0}>0$。
公式：$g'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{x-x_0}>0$
提示：极限保号性：若极限为正，则在某去心邻域内函数值符号与极限相同。
步骤 3/3
目标：判断符号并得出结论
当 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 时，$x-x_0>0$，故 $g(x)>0$，即 $f(x)>x^2$；当 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 时，$x-x_0<0$，故 $g(x)<0$，即 $f(x)
提示：注意 $x-x_0$ 的符号影响 $g(x)$ 的符号。

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