kaoyan1basic 高等数学 第24题
📝 题目
### 【强化篇】第24题（选择题） 24．设函数 $f(x)$ 连续，给出下列四个条件： （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-f(0)}{x}$ 存在； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-|f(0)|}{x}$ 存在； （3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|}{x}$ 存在； （4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-|f(0)|}{x}$ 存在．
其中能得到＂$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导＂的条件的个数是（ ）。 （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：条件（1）$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{|f(x)|-f(0)}{x}$存在，不能保证$f(x)$在0处可导，例如$f(x)=|x|$，$f(0)=0$，则$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{|x|-0}{x}$不存在，但若$f(0)=0$且$f(x)$连续，则此极限存在可推出$f'(0)=0$，但一般情况不成立。 步骤2：条件（2）$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)-|f(0)|}{x}$存在，若$f(0)\ge0$，则$|f(0)|=f(0)$，即为导数定义；若$f(0)<0$，则$|f(0)|=-f(0)$，此极限存在不能保证$f'(0)$存在。 步骤3：条件（3）$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{|f(x)|}{x}$存在，例如$f(x)=x$，则$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}$不存在，但$f(x)$可导；反之，若$f(x)=|x|$，则此极限不存在，故不能推出可导。 步骤4：条件（4）$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{|f(x)|-|f(0)|}{x}$存在，即$|f(x)|$在0处可导，不能推出$f(x)$可导，例如$f(x)=\begin{cases} 1, & x\ge0 \\ -1, & x<0 \end{cases}$，则$|f(x)|=1$可导，但$f(x)$在0处不可导。故只有条件（1）在$f(0)=0$时可推出可导，但一般情况仅（1）可能成立，个数为1。 **难度**：★★★☆☆