kaoyan1basic 高等数学 第25题
📝 题目
### 【强化篇】第25题（解答题） 25．设 $f(x)=a_{1} \sin x+a_{2} \sin 2 x+\cdots+a_{n} \sin n x$ ，其中 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 都是常数，且 $|f(x)| \leqslant |\sin x|$ ．证明：$\left|a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}\right| \leqslant 1$ ．
## 第4章 一元函数微分学的计算
💡 答案解析
**答案**：见解析 **解析**：步骤1：由条件$|f(x)|\le|\sin x|$，即$|a_1\sin x+a_2\sin2x+\cdots+a_n\sin nx|\le|\sin x|$。 步骤2：两边除以$|x|$（$x\neq0$），得$\displaystyle \left|\frac{a_1\sin x}{x}+\frac{a_2\sin2x}{x}+\cdots+\frac{a_n\sin nx}{x}\right|\le\left|\frac{\sin x}{x}\right|$。 步骤3：令$x\to0$，利用极限$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin kx}{x}=k$，得$|a_1+2a_2+\cdots+na_n|\le1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用已知不等式建立关于f(x)和sin x的关系
由条件|f(x)| ≤ |sin x|，即|a₁ sin x + a₂ sin 2x + ... + aₙ sin nx| ≤ |sin x|。
公式：|a₁ sin x + a₂ sin 2x + ... + aₙ sin nx| ≤ |sin x|
提示：注意绝对值不等式的基本形式。
步骤 2/3
目标：将不等式两边除以|x|（x≠0），以便利用极限
当x≠0时，两边除以|x|，得|a₁ sin x / x + a₂ sin 2x / x + ... + aₙ sin nx / x| ≤ |sin x / x|。
公式：|∑ aₖ sin(kx)/x| ≤ |sin x/x|
提示：除以|x|时注意x≠0，后续取极限x→0。
步骤 3/3
目标：取极限x→0，利用重要极限计算
令x→0，利用极限lim_{x→0} sin(kx)/x = k，得到|a₁ + 2a₂ + ... + n aₙ| ≤ 1。
公式：lim_{x→0} sin(kx)/x = k
提示：注意极限的保号性，不等式在极限下仍然成立。
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