kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设 $f(x)=x^{2}, h(x)=f[1+g(x)]$ ，其中 $g(x)$ 可导，且 $g^{\prime}(1)=h^{\prime}(1)=2$ ，则 $g(1)=(\quad)$ 。 （A）-2 （B）$\displaystyle -\frac{1}{2}$ （C） 0 （D） 2
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：$h(x)=f[1+g(x)]=[1+g(x)]^2$，则$h'(x)=2[1+g(x)]g'(x)$。 步骤2：由$h'(1)=2$，得$2[1+g(1)]g'(1)=2$，又$g'(1)=2$，代入得$2[1+g(1)]\cdot2=2$，即$4[1+g(1)]=2$，解得$\displaystyle 1+g(1)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle g(1)=-\frac{1}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出h(x)的表达式
由f(x)=x^2和h(x)=f[1+g(x)]，得h(x)=[1+g(x)]^2。
公式：h(x)=[1+g(x)]^2
提示：复合函数代入时注意内层函数整体作为自变量。
步骤 2/3
目标：求h(x)的导数
对h(x)=[1+g(x)]^2求导，利用链式法则：h'(x)=2[1+g(x)]·g'(x)。
公式：h'(x)=2[1+g(x)]g'(x)
提示：链式法则：外层函数平方求导得2倍内层，再乘内层导数。
步骤 3/3
目标：代入已知条件求解g(1)
由h'(1)=2和g'(1)=2，代入得2[1+g(1)]·2=2，即4[1+g(1)]=2，解得1+g(1)=1/2，所以g(1)=-1/2。
公式：4[1+g(1)]=2 ⇒ g(1)=-1/2
提示：注意代入时不要混淆数值，解方程要仔细。
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