kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【强化篇】第1题（填空题） 1．设 $f(x)$ 为三次多项式，且 $f(x)+1$ 能被 $(x-1)^{2}$ 整除，$f(x)-1$ 能被 $(x+1)^{2}$ 整除，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle f(x)=\frac{3}{4}x^3-\frac{3}{4}x$ **解析**：步骤1：设$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$。由$f(x)+1$能被$(x-1)^2$整除，得$f(1)+1=0$且$f'(1)=0$。 步骤2：由$f(x)-1$能被$(x+1)^2$整除，得$f(-1)-1=0$且$f'(-1)=0$。 步骤3：代入得方程组：$a+b+c+d+1=0$，$3a+2b+c=0$，$-a+b-c+d-1=0$，$3a-2b+c=0$。 步骤4：解方程组得$\displaystyle a=\frac{3}{4}$，$b=0$，$\displaystyle c=-\frac{3}{4}$，$d=0$，故$\displaystyle f(x)=\frac{3}{4}x^3-\frac{3}{4}x$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
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