kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【基础篇】第2题（填空题） 2．设 $f(x)=(\ln x-1)\left(\ln ^{2} x-2\right) \cdots\left(\ln ^{n} x-n\right), n \geqslant 2$ ，则 $f^{\prime}(\mathrm{e})=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{n(n-1)}{2}\cdot(-1)^{n-1}(n-1)!$ **解析**：步骤1：$f(x)=\prod_{k=1}^n(\ln^k x-k)$，则$f(e)=\prod_{k=1}^n(1^k-k)=\prod_{k=1}^n(1-k)=0$，因为当$k=1$时因子为$0$。 步骤2：$\displaystyle f'(e)=\lim_{x\to e}\frac{f(x)-f(e)}{x-e}=\lim_{x\to e}\frac{f(x)}{x-e}$。 步骤3：$f(x)=(\ln x-1)\prod_{k=2}^n(\ln^k x-k)$，当$x\to e$时，$\displaystyle \ln x-1\sim \frac{x-e}{e}$，故$\displaystyle f(x)\sim \frac{x-e}{e}\prod_{k=2}^n(1^k-k)=\frac{x-e}{e}\prod_{k=2}^n(1-k)$。 步骤4：$\prod_{k=2}^n(1-k)=(-1)^{n-1}(n-1)!$，故$\displaystyle f'(e)=\frac{1}{e}(-1)^{n-1}(n-1)!$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算 f(e) 的值
将 x=e 代入 f(x) 的表达式，得到 f(e)=∏_{k=1}^n (ln^k e - k) = ∏_{k=1}^n (1^k - k) = ∏_{k=1}^n (1-k)。由于当 k=1 时因子为 0，所以 f(e)=0。
公式：f(e)=∏_{k=1}^n (1^k - k)=0
提示：注意 ln e = 1，所以 ln^k e = 1。
步骤 2/4
目标：利用导数定义求 f'(e)
由导数定义，f'(e)=lim_{x→e} (f(x)-f(e))/(x-e) = lim_{x→e} f(x)/(x-e)，因为 f(e)=0。
公式：f'(e)=lim_{x→e} f(x)/(x-e)
提示：当函数值在一点为0时，导数定义可简化为极限。
步骤 3/4
目标：对 f(x) 进行等价无穷小替换
将 f(x) 写为 f(x)=(ln x -1)∏_{k=2}^n (ln^k x - k)。当 x→e 时，ln x -1 ~ (x-e)/e，且 ln^k x → 1，所以 ln^k x - k → 1-k。因此 f(x) ~ ((x-e)/e) ∏_{k=2}^n (1-k)。
公式：ln x -1 ~ (x-e)/e
提示：利用等价无穷小替换简化极限计算。
步骤 4/4
目标：计算乘积并得到最终结果
计算 ∏_{k=2}^n (1-k) = (-1)^{n-1} (n-1)!。代入极限得 f'(e)=lim_{x→e} [((x-e)/e) ∏_{k=2}^n (1-k)]/(x-e) = (1/e) ∏_{k=2}^n (1-k) = (1/e) (-1)^{n-1} (n-1)!。
公式：∏_{k=2}^n (1-k)=(-1)^{n-1}(n-1)!
提示：注意乘积中负号的个数。
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