kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（解答题） 2．设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内具有连续导数，且 $\displaystyle f(0)=1, f^{\prime}(x)=\frac{1}{2} f[f(x)-1]$ ，求 $f^{\prime \prime}(0)$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle f''(0)=\frac{1}{2}$ **解析**：步骤1：由$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2}f[f(x)-1]$，令$x=0$，得$\displaystyle f'(0)=\frac{1}{2}f[f(0)-1]=\frac{1}{2}f(0)=\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{2}$。 步骤2：两边对$x$求导，$\displaystyle f''(x)=\frac{1}{2}f'[f(x)-1]\cdot f'(x)$。 步骤3：令$x=0$，得$\displaystyle f''(0)=\frac{1}{2}f'[f(0)-1]\cdot f'(0)=\frac{1}{2}f'(0)\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算 f'(0)
由已知条件 f'(x) = (1/2) f[f(x)-1]，令 x=0，得 f'(0) = (1/2) f[f(0)-1]。因为 f(0)=1，所以 f[f(0)-1] = f(0) = 1，故 f'(0) = (1/2)*1 = 1/2。
公式：f'(0) = (1/2) f[f(0)-1]
提示：注意复合函数内层 f(0)-1=0，因此 f(0)=1。
步骤 2/3
目标：对原方程两边求导得到 f''(x) 表达式
对 f'(x) = (1/2) f[f(x)-1] 两边关于 x 求导，左边导数为 f''(x)，右边使用链式法则：f''(x) = (1/2) f'[f(x)-1] * f'(x)。
公式：f''(x) = (1/2) f'[f(x)-1] * f'(x)
提示：注意复合函数求导时，内层函数为 f(x)-1，其导数为 f'(x)。
步骤 3/3
目标：代入 x=0 计算 f''(0)
令 x=0，得 f''(0) = (1/2) f'[f(0)-1] * f'(0)。由于 f(0)-1=0，所以 f'[f(0)-1] = f'(0) = 1/2，且 f'(0)=1/2，代入得 f''(0) = (1/2) * (1/2) * (1/2) = 1/8。
公式：f''(0) = (1/2) f'(0) * f'(0)
提示：注意 f'(0) 已由第一步求出，直接代入即可。
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