kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（填空题） 3．设函数 $f(x)$ 可导，$f(0)=-1, f^{\prime}(0)=1$ ，若 $y(x)=|f(x-1)|$ ，则 $y^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**：步骤1：$y(x)=|f(x-1)|$，则$\displaystyle y'(1)=\lim_{x\to1}\frac{|f(x-1)|-|f(0)|}{x-1}$。 步骤2：$f(0)=-1$，故$|f(0)|=1$。当$x\to1$时，$x-1\to0$，$f(x-1)\to f(0)=-1$，故在1的邻域内$f(x-1)<0$，$|f(x-1)|=-f(x-1)$。 步骤3：$\displaystyle y'(1)=\lim_{x\to1}\frac{-f(x-1)-1}{x-1}=-\lim_{x\to1}\frac{f(x-1)-f(0)}{x-1}=-f'(0)=-1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用导数定义写出y'(1)的表达式
由导数定义，y'(1) = lim_{x→1} [y(x)-y(1)]/(x-1)。由于y(x)=|f(x-1)|，y(1)=|f(0)|=1，所以y'(1)=lim_{x→1} [|f(x-1)|-1]/(x-1)。
公式：f'(a)=lim_{x→a} [f(x)-f(a)]/(x-a)
提示：注意y(1)=|f(0)|=1，因为f(0)=-1。
步骤 2/3
目标：判断x→1时f(x-1)的符号，去掉绝对值
由于f(0)=-1，且f可导，故连续，因此当x→1时，x-1→0，f(x-1)→f(0)=-1<0。所以在1的某邻域内（x≠1），f(x-1)<0，从而|f(x-1)|=-f(x-1)。
公式：若u<0，则|u|=-u
提示：利用连续性判断符号，注意邻域内f(x-1)恒负。
步骤 3/3
目标：代入并利用已知导数计算极限
代入得y'(1)=lim_{x→1} [-f(x-1)-1]/(x-1) = -lim_{x→1} [f(x-1)-f(0)]/(x-1) = -f'(0) = -1。
公式：lim_{x→1} [f(x-1)-f(0)]/(x-1) = f'(0)
提示：注意f'(0)=1，所以结果为-1。
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