kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（填空题） 3．设 $y=y(x)$ 是由方程 $y^{3}+x y+x^{2}-2 x+1=0$ 确定并且满足 $y(1)=0$ 的函数，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)^{3}}{\int_{1}^{x} y(t) \mathrm{d} t}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{3}{2}$ **解析**：步骤1：由方程$y^3+xy+x^2-2x+1=0$，两边对$x$求导，$3y^2y'+y+xy'+2x-2=0$。 步骤2：代入$x=1,y=0$，得$0+0+1\cdot y'+2-2=0$，即$y'(1)=0$。 步骤3：再求导，$6y(y')^2+3y^2y''+y'+y'+xy''+2=0$，代入$x=1,y=0,y'=0$，得$0+0+0+0+1\cdot y''+2=0$，即$y''(1)=-2$。 步骤4：所求极限$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{(x-1)^3}{\int_1^x y(t)dt}$，为$\displaystyle \frac{0}{0}$型，用洛必达法则，$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{3(x-1)^2}{y(x)}$，仍为$\displaystyle \frac{0}{0}$型，再洛必达，$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{6(x-1)}{y'(x)}$，仍为$\displaystyle \frac{0}{0}$型，再洛必达，$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{6}{y''(x)}=\frac{6}{-2}=-3$。 **难度**：★★★★☆