kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【基础篇】第4题（选择题） 4．设函数 $f(x)$ 可导，$\displaystyle f(1)=f^{\prime}(1)=\frac{1}{4}$ ，若 $y(x)=\mathrm{e}^{\sqrt{f(2 x-1)}}$ ，则 $y^{\prime}(1)=(\quad)$ ． （A）$\sqrt{\mathrm{e}}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{4} \sqrt{\mathrm{e}}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{2} \sqrt{\mathrm{e}}$ （D） $2 \sqrt{\mathrm{e}}$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：令$u = f(2x-1)$，则$y = e^{\sqrt{u}}$，$\displaystyle y' = e^{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$，其中$u' = 2f'(2x-1)$。 步骤2：代入$x=1$，得$\displaystyle u = f(1) = \frac{1}{4}$，$\displaystyle u' = 2f'(1) = \frac{1}{2}$，则$\displaystyle y'(1) = e^{\sqrt{1/4}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1/4}} \cdot \frac{1}{2} = e^{1/2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1/2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{e} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{e}$。 **难度**：★★☆☆☆