kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【强化篇】第4题（解答题） 4．设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle \arctan \frac{x}{y}=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 确定，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 与 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$，$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2(x^2+y^2)}{(x-y)^3}$ **解析**： 步骤1：方程两边对$x$求导：$\displaystyle \frac{1}{1+(x/y)^2} \cdot \frac{y - x y'}{y^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x+2y y'}{x^2+y^2}$，化简得$\displaystyle \frac{y - x y'}{x^2+y^2} = \frac{x + y y'}{x^2+y^2}$，即$y - x y' = x + y y'$，解得$\displaystyle y' = \frac{y-x}{x+y}$。 步骤2：对$y'$再求导：$\displaystyle y'' = \frac{(y'-1)(x+y) - (y-x)(1+y')}{(x+y)^2}$，代入$\displaystyle y' = \frac{y-x}{x+y}$，化简得$\displaystyle y'' = \frac{2(x^2+y^2)}{(x-y)^3}$。 **难度**：★★★☆☆