kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【基础篇】第5题（填空题） 5．已知函数 $y=y(x)$ 满足 $\left(x+y^{2}\right) y^{\prime}=1, y(-1)=0$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}\right|_{y=0}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$-1$ **解析**： 步骤1：由$(x+y^2)y' = 1$，得$\displaystyle \frac{dx}{dy} = x+y^2$。 步骤2：代入$y=0$，$x = y(-1) = -1$，则$\displaystyle \left.\frac{dx}{dy}\right|_{y=0} = -1 + 0 = -1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将原方程转化为关于x对y的导数形式
由 $(x+y^2)y' = 1$，且 $y' = \frac{dy}{dx}$，得 $(x+y^2)\frac{dy}{dx}=1$，两边取倒数得 $\frac{dx}{dy}=x+y^2$。
公式：\frac{dx}{dy} = x + y^2
提示：注意 $y' = dy/dx$，其倒数为 $dx/dy$。
步骤 2/2
目标：代入已知条件求值
已知 $y(-1)=0$，即当 $y=0$ 时 $x=-1$。代入 $\frac{dx}{dy}=x+y^2$，得 $\left.\frac{dx}{dy}\right|_{y=0} = -1 + 0^2 = -1$。
公式：\left.\frac{dx}{dy}\right|_{y=0} = -1
提示：代入时注意 $x$ 的值由初始条件确定。
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