kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【强化篇】第5题（解答题） 5．设 $y=2 x+\sin x$ ，求其反函数 $x=x(y)$ 的二阶导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} y^{2}}$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\sin x}{(2+\cos x)^3}$ **解析**： 步骤1：由$y = 2x + \sin x$，得$\displaystyle \frac{dy}{dx} = 2 + \cos x$，则$\displaystyle \frac{dx}{dy} = \frac{1}{2+\cos x}$。 步骤2：$\displaystyle \frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy}\left(\frac{1}{2+\cos x}\right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2+\cos x}\right) \cdot \frac{dx}{dy} = \frac{\sin x}{(2+\cos x)^2} \cdot \frac{1}{2+\cos x} = \frac{\sin x}{(2+\cos x)^3}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求一阶导数 dy/dx
对 y = 2x + sin x 求导，得 dy/dx = 2 + cos x。
公式：dy/dx = 2 + cos x
提示：注意 sin x 的导数为 cos x。
步骤 2/3
目标：求反函数的一阶导数 dx/dy
利用反函数求导公式，dx/dy = 1/(dy/dx) = 1/(2 + cos x)。
公式：dx/dy = 1/(2 + cos x)
提示：反函数导数等于原函数导数的倒数。
步骤 3/3
目标：求反函数的二阶导数 d²x/dy²
d²x/dy² = d/dy (dx/dy) = d/dx (dx/dy) * dx/dy。先对 dx/dy 关于 x 求导：d/dx [1/(2+cos x)] = sin x/(2+cos x)²，再乘以 dx/dy = 1/(2+cos x)，得 d²x/dy² = sin x/(2+cos x)³。
公式：d²x/dy² = sin x/(2+cos x)³
提示：注意链式法则，将 dy 转换为 dx。
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