kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【基础篇】第6题（解答题） 6．设 $y=f(x)$ 由方程 $|x| y^{3}+y-1=0$ 确定，求 $y=f(x)$ 的极大值．
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**： 步骤1：方程$|x| y^3 + y - 1 = 0$，考虑$x>0$时，$x y^3 + y - 1 = 0$，两边对$x$求导：$y^3 + 3x y^2 y' + y' = 0$，得$\displaystyle y' = -\frac{y^3}{1+3x y^2}$。令$y'=0$，得$y=0$，代入原方程得$0+0-1=0$矛盾，故无极值点。 步骤2：考虑$x<0$时，$-x y^3 + y - 1 = 0$，求导：$-y^3 - 3x y^2 y' + y' = 0$，得$\displaystyle y' = \frac{y^3}{1-3x y^2}$。令$y'=0$，得$y=0$，代入得$0+0-1=0$矛盾。 步骤3：考虑$x=0$时，方程化为$y-1=0$，得$y=1$。由隐函数存在性，$x=0$处$y=1$为极大值（因左右邻域$y<1$）。故极大值为$1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析方程在不同x符号下的形式
方程 |x| y^3 + y - 1 = 0，需分 x>0, x<0, x=0 三种情况讨论。
提示：注意绝对值处理，分情况讨论是解题关键。
步骤 2/5
目标：讨论 x>0 时的情况
当 x>0 时，方程为 x y^3 + y - 1 = 0。两边对 x 求导：y^3 + 3x y^2 y' + y' = 0，解得 y' = -y^3/(1+3x y^2)。令 y'=0 得 y=0，代入原方程得 0+0-1=0 矛盾，故无驻点。
公式：y' = -y^3/(1+3x y^2)
提示：求导时注意 y 是 x 的函数，需用隐函数求导法。
步骤 3/5
目标：讨论 x<0 时的情况
当 x<0 时，方程为 -x y^3 + y - 1 = 0。两边对 x 求导：-y^3 - 3x y^2 y' + y' = 0，解得 y' = y^3/(1-3x y^2)。令 y'=0 得 y=0，代入原方程得 0+0-1=0 矛盾，故无驻点。
公式：y' = y^3/(1-3x y^2)
提示：注意符号变化，求导时 -x 的导数为 -1。
步骤 4/5
目标：讨论 x=0 时的情况
当 x=0 时，方程为 y-1=0，得 y=1。考虑 x=0 附近，当 x≠0 时，由方程可知 |x| y^3 + y - 1 = 0，若 y>1，则 |x| y^3 >0，左边 > y-1 >0，矛盾；若 y<1，则左边 < y-1 <0，矛盾？实际上需验证：当 x 很小时，y 接近 1，且由隐函数存在性，x=0 处 y=1 是极大值。
提示：x=0 是分段点，需单独分析，结合隐函数存在性定理。
步骤 5/5
目标：判断极值
由上述分析，x=0 处 y=1 是可能的极值点。考虑 x>0 且 x 很小时，方程 x y^3 + y - 1 = 0，若 y>1，则左边 >0，矛盾；若 y<1，则左边 <0，矛盾？实际上需解出 y 的近似：当 x→0+ 时，y≈1 - x，故 y<1。类似地，x→0- 时，y≈1 + x，故 y<1？需仔细：x<0 时，方程为 -x y^3 + y - 1 = 0，当 x→0- 时，-x>0，y≈1 - (-x)=1+x，由于 x<0，1+x<1，故 y<1。因此 x=0 左右邻域 y<1，所以 y=1 是极大值。
提示：利用隐函数近似或单调性分析邻域内 y 的值。
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