kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【强化篇】第6题（填空题） 6．若 $y=\sin \left(\mathrm{e}^{-\sqrt{x}}\right)$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=1}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{\sqrt{e}}{2e} \cos(e^{-1})$ **解析**： 步骤1：$y = \sin(e^{-\sqrt{x}})$，则$\displaystyle y' = \cos(e^{-\sqrt{x}}) \cdot e^{-\sqrt{x}} \cdot (-\frac{1}{2\sqrt{x}})$。 步骤2：代入$x=1$，得$\displaystyle y'(1) = \cos(e^{-1}) \cdot e^{-1} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2e} \cos\left(\frac{1}{e}\right)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：求导数 y'
y = sin(e^{-√x})，使用链式法则求导：y' = cos(e^{-√x}) * (e^{-√x})'，其中 (e^{-√x})' = e^{-√x} * (-1/(2√x))。
公式：y' = cos(e^{-√x}) * e^{-√x} * (-1/(2√x))
提示：注意复合函数求导时，逐层求导并相乘。
步骤 2/2
目标：代入 x=1 计算导数值
将 x=1 代入 y' 表达式：y'(1) = cos(e^{-1}) * e^{-1} * (-1/(2*1)) = -1/(2e) * cos(1/e)。
公式：y'(1) = -1/(2e) cos(1/e)
提示：注意 e^{-1} = 1/e，且 √1 = 1。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。