kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【基础篇】第7题（填空题） 7．设 $\left\{\begin{array}{l}x=t-t^{2}, \\ t \mathrm{e}^{y}+y+1=0,\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{t=0}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：由$x = t - t^2$，得$\displaystyle \frac{dx}{dt} = 1 - 2t$。 步骤2：由$t e^y + y + 1 = 0$，两边对$t$求导：$e^y + t e^y y' + y' = 0$，得$\displaystyle y' = -\frac{e^y}{1+t e^y}$。 步骤3：当$t=0$时，由$t e^y + y + 1 = 0$得$y = -1$，则$\displaystyle \frac{dy}{dt}\big|_{t=0} = -\frac{e^{-1}}{1+0} = -e^{-1}$，$\displaystyle \frac{dx}{dt}\big|_{t=0} = 1$，故$\displaystyle \frac{dy}{dx}\big|_{t=0} = \frac{-e^{-1}}{1} = -\frac{1}{e}$。 **注意**：原答案应为$\displaystyle -\frac{1}{e}$，但题目选项或格式可能有误，此处按计算得$\displaystyle -\frac{1}{e}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求dx/dt
由x = t - t^2，对t求导得dx/dt = 1 - 2t。
公式：dx/dt = 1 - 2t
提示：直接求导即可。
步骤 2/3
目标：求dy/dt
由t e^y + y + 1 = 0，两边对t求导：e^y + t e^y y' + y' = 0，解得y' = -e^y/(1 + t e^y)。
公式：dy/dt = -e^y/(1 + t e^y)
提示：注意隐函数求导法则，y是t的函数。
步骤 3/3
目标：计算t=0时的导数值
当t=0时，代入t e^y + y + 1 = 0得y = -1。则dy/dt|_{t=0} = -e^{-1}/(1+0) = -1/e，dx/dt|_{t=0} = 1。故dy/dx|_{t=0} = (dy/dt)/(dx/dt) = -1/e。
公式：dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
提示：先求y在t=0时的值，再代入导数公式。
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